Kardinalitas dan Jenis-Jenis Himpunan Matematika (10 Jenis)

Setelah membahas bagian awal mengenai pengantar, pengertian dan hal-hal yang berkaitan dengan penyajian Himpunan. Pada bagian ini sendiri akan membahas macam-macam maupun jenis-jenis Himpunan yang pada umumya beredar dalam Matematika itu sendiri. Khususnya pada bab Himpunan Matematika. Namun pada penggunaannya sendiri dipergunakan dalam operasi Himpunan yang ada.

Himpunan Bagian , A merupakan bagian dari B
Sumber : Pribadi

Untuk memahami Jenis-Jenis Himpunan. Kita terlebih dahulu memahami secara sederhana mengenai pengertian Himpunan maupun Penyajian dalam operasi himpunan. Dalam Jenis-jenis himpunan sendiri sering memakai penyajian Enumerasi dan Diagram Venn.

Kardinalitas

Kardinalitas adalah banyaknya notasi maupun anggota atau element dari setiap himpuna yang ada.
Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya anggota yang dikandung oleh himpunan tersebut.

Banyaknya anggota himpunan

adalah 4. Himpunan

juga memiliki anggota sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas yang sama.
Dua buah himpunan A dan B memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat fungsi korespondensi satu-satu yang memetakan A pada B. Karena dengan mudah kita membuat fungsi

yang memetakan satu-satu dan kepada himpunan A ke B, maka kedua himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang sama.
Himpunan yang dikatakan berhingga jika memiliki anggota dengan n yang berbeda, dan dengan n bilangan bulat positf. Sebaliknya jika suatu himpunan memiliki anggota yang tidak berhingga bisa dikatakan infinite-set. Dalam notasi Kardinalitas sendiri dituliskan sebagai Notasi : n(A) atau |A|
Contoh : A adalah suatu himpunan bulat positif yang memiliki anggota kurang dari 6, maka A adalah |A| =5 A={1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n(A) = 6 dengan element-element A yang berbeda adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6.
C = {x|x adalah bilangan prima yang lebih kecil dari 26}, maka |C| = 9 dengan element-element C adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
E = {a, {a}, {{a}}, {{{a}}} }, maka |E| = 4, dengan elemen-elemen E (yang berbeda) adalah {a, {a}, {{a}}, {{{a}}} }
R = {a, b, {a,b,c}, {a,c}, {b, c}} maka n(R) = 5, dengan elemen-elemen (yang berbeda) adalah a, b, {a,b,c}, {a,c}, {b, c}

Jenis-Jenis Himpunan

Dalam memahami Himpunan. Kita memiliki bebagai jenis himpunan berdasarkan anggta yang ada.

1. Himpunan Kosong

Himpunan Kosong ini sendiri adalah himpunan yang anggotanya tiadk memiliki satu pun element. Bahkan tidak memiliki Kardinal = 0, Himpunan ini sendiri disebut dengan himpunan kosong dan dapat disimbolkan dengan $\left \{ \right \}$ atau $\varnothing$

Penulisan dalam himponan kosong kadang kala ditulis dalam bentuk sebgai berikut :
a. $\left \{ \left \{ \right \} \right \}$
b. $\left \{ \varnothing \right \}$
c. $\left \{ \left \{ \right \}, \left \{ \left \{ \right \} \right \}\right \}$
d. $\left \{ \varnothing , \left \{ \varnothing \right \}\right \}$

2. Himpunan Bagian {subset}

Jika suatu himpunan A dan B adalah himpunan-himpunan, maka himpunan A dapat dikatakan merupkana himpunan bagian {subset} dari suatu himpunan B, maka setiap(semua) anggota dari A merupakan satu abgian dari Himpunan B. Sehingga A merupakan subset dari himpunan B. Sebaliknya B merupakan Superset dari A.
Dapat digambarkan dalam notasi berikut :

$A\subseteq B \Leftrightarrow \left ( \left (\forall \right ) x\in A \Rightarrow x \in B\right )$

Dalam suatu diagram Venn akan jauh lebih jelas untuk menggambarkan bagian diatas atau notasi $A\subseteq B$ . Dapat dilihat dalam gambar. Jika A merupakan suatu bagian B, maka dapat dikatakan B memuat A dengan $B\supseteq A$ . Jikalau memang A bukan bagian dari hipunan B maka dapat ditulis dalam $A\nsubseteq B$ .

Himpunan Bagian , A merupakan bagian dari B
Sumber : Pribadi

Contoh :
{1, 2, 3, 4, 5} ⊆ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
{1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}
jika Himpunan A adalah bagian dari A itu sendiri, yaitu A ⊆ A, maka himpunan kosong sendiri juga bagian dari himpunan A. (∅ ⊆ A).
Contoh jika A = {1, 2, 3} maka anggota {1, 2, 3} adalah suatu improper subset dari A. untuk menjelaskan ∅ ⊆ A, kita harus memperhatikan implikasi bahwa "jika x ∈ ∅, maka x ∈ A" selalu benar (Sesuai dengan definisi dari himpunana bagian0. Untuk menyatakan bahwa bagian (x ∈ ∅) selalu bernilai asalah karena dari ∅ tiak selalu mempunyai anggota. Maka kalimat ∅ ⊆ A selalu benar A.
Lalu jika kita mau menekankan suatu Himpunan A yang merupakan bagian himpunan dari B. tetapi anggota A ≠ B akan tetapi A merupakan abgian B dapat ditulis dengan A⊂ B. Himpunan A sendiri disebut sebagai (proper subset) dari himpunan A. Sebagai contoh himpunan {1} dan {2, 3}, dan {1,3} merupakan proper subset dari {1, 2, 3}.

3. Himpunan Sama

Himpunan A dapat dikatakan sama dengan suatu Himpunan lain (B atau C) jika setiap anggota dari himpunan A sama dengan Himpunan B. Dan juga berlaku sebaliknya. Sehingga dalam sautu notasi dapat ditulisakan sebagai berikut :
$A = B, \leftrightarrow A\subseteq B$ dan $B\subseteq A$
Contoh :
A = { a, b, c} ; B = {c, b, a}, maka A = B
A = {1 , 2 , 3 , 4) ; B = {1, 1, 3, 4, 2, 2 }, maka A = B
A = {1, 2, 3, 7, 5} ; B = {1, 3, 2, 7} maka A ≠ B
jika A = {1,0} ; B = {x|x(x-1)=0}. maka A = B.

Prinsip dikatakan bahwa himpunan ini dikatakan sama jika memiliki prinsip dibawah ini.

Dalam suatu himpunan tidak penting urutan dari himpuann yang sama ini. Misalnya {1, 2, 3} = {2, 3, 1} = {3, 2, 1} tidak mempengaruhi sama sekali.
Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesaaam dua buah himunan. Misalnya {1} = {1,1} = {1,1,1} maupun {1, 2, 3} = {1, 2, 3, 3, 2, 1}.
Untuk A, B, C berlaku hukum aksioma. Misalnya :
(1) A = A, B = B, dan C=C
(2), jika A = B, maka B = A,
(3) jika A = B, B = C, maka A = C, serta A = B = C

4. Himpunan Ekuivalen

Suatu himpunan dapat dikatakan Ekuivalen bila keua himpunan tersebut memiliki nilai kardinal yang sama tetapi anggotanya berbeda. Yang befokus adalah jumlah notasi dari banyaknya anggota yang sama. Misalnya :
Notasi :
A~B
|A| = |B|
Himpunan A = {1, 2, 3, 4} memiliki Kardinal n(A) = 4
Himpunan B = {a, v, c, w} memiliki Kardinal n(B) = 4
maka Himpunan A eukivalen dengan Himpunan B
A~B <-> |A| = |B| <-> n(A) = n(B)

5. Himpunan Saling Lepas

Kedua himpunan dapat dikatakan saling lepas jika kedua himpunan tidak memiliki anggota yang sama dengan Himpunan Lain. Himpunan A tidak memiliki anggota yang sama dengan Himpunan B. Contoh
Notasi : A // B
Himpunan A ={ 1, 3, 5,7, 9} sedangkan Himunan B {2, 4} maka himpunan A dengan Himpunan B saling lepas --> A //B

Himpunan saling Lepas
Sumber : Buat Sendiri

6. Himpunan Kuasa

Himpunan Kuasa (power set) dari suatu Himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua dari himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpuann A itu sendiri.

Notasi sederhana

|{\mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}

Contoh
Himpunan A {1, 2, 3, 4} maka Himpunan kuasanya P(A) = 16 atau dengan bentuk $2^{\left | A \right |} = 2^{\left | 4 \right |} = 16$
= {} --> 1
= {1, 2, 3, 4} -> 4
= { {1,2} , {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} } --> 6
= { {1,2,3} , {1,2,4} , {1,3,4}, {2,3,4} --> 4
= {{1,2,3,4}} --> 1

Sehingga ada 16.

7. Himpunan Semesta

Himpunan Semesta adalah Himpunan sendiri dilambangkan dengan "U" atau "S" yang berarti (Universum). Himpunan Semesta berarti himpunan yang memuat semua anggota yag dibicarakan aatau elemen yang sedang dimuat. Biasanya himpunan semesta ditetapkan sebelum membicarakan suatu himpunan. Dengan demikian hipunan lain adalah salah satu bagian dari Himpunan pembicaraan.

Contoh
Jika kita mengatakan Himpunan A merupakan bilangan asli. Sedangkan Himpunan Semesta adalah himpunan bilangan cacah.

Himpunan Semesta U = {1, 2, 3, 4, ..., 10} sedangkan Himpuann A = {1, 2, 3, 4, 7, 9}.

8. Himpunan Berhingga

Himpunan berhingga adalah himpunan yang bilangannya dapat didefinisikan atau dapat dilihat di bagian Akhir. Contoh Himpunan Berhingga ;

Contoh :
A = {1, 2, 3, 4, 5 ... , 7}
B = {1, 2, 3, 4}
C = {senin, selasa, rabu, kamis}

9. Himpunan tak Berhingga

Himpuann tak berhingga adalah Himpunan yang anggotanya tidak memiliki ujung maupun akhir anggota dalam suatu Himpunan. Sehingga tidak diketahui banyak suatu anggota. Misalnya :

Contoh :
A = {1, 2, 3 4, ...}
B = {... , -3, -2, -1, 0}
C = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

untuk menentukan kardinalitas biasa menggunakan simbol infinite "∞"

n(A) = ∞
n(B) = ∞
|A| = ∞

10. Himpunan Complemen

Himpunan Komplemen adalah himpunan yang Himpunan suatu A yang anggotanya tidak ada dalam himpunan A tetapi ada dalam Himpunan U / S. Atau Semua anggota Himpunan Semesta yang bukan dari anggota Himpunan A.

Notasi : $\bar{A} = A^{C} = \left \{ x|x \in U\textrm{ dan } x \notin A\right \}$

Dapat diambarkan dalam diagram Venn

Contoh :
Himpunan Semesta U = {1, 2, 3, 4, ..., 10} sedangkan Himpuann A = {1, 2, 3, 4, 7, 9}. Maka Komplemen Himpunan A = {5, 6, 8, 10}. Bisa dilihat di gambar atas.

Kesimpulan

Dalam aspek Himpunan Matematika terdapat kardinalitas yaitu jumlah dari anggota-anggota dari suatu himpunan dan Himpunan memiliki jenis-jenis himpunan. Jenis-Jenis Himpunan ini sendiri ada 10 jenis yang ada dalam maematika.

Sumber :
https://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_(matematika)
https://www.rumusmatematika.org/2018/04/himpunan.html
https://anggaradana.blogspot.com/2013/09/makalah-himpunan-dan-anggota-anggotanya.html
Muhammad Rusli, I Ketut Putu Suniantara, dan Anggun Nugroho. 2018. Logika & Matematika. Yogyakarta: Andi Offset. Hlm. 34-41

Saturday, November 23, 2019