6 Jenis Operasi Himpunan secara Matematis

Setiap kali kita mempelajari Matematika, pasti akan menemukan beberapa operasi maupun sifat-sifat dari setiap bab itu. Terlebih lagi kita akan mempelajari hal-hal yang penting dalam kehidupan kita mengerti matematika. Terlebih dari itu mengerti operasi dan sifat-sifat himpunan ini.

Komplemen Dari gabungan
Himpunan A dan B
© Data Pribadi 

Setelah memahami apakah itu Pengertian, Penyajian, Notasi-Notasi, Kardinalitas dan Jenis-Jenis Himpunan. Kita akan mempelajari hal yang cukup sulit maupun bagian inti dari materi Himpunan. Setelah kita mempelajari beberapa hal lebih lanjut mengenai Himpunan, yaitu Operasi dan Sifat-sifat Himpunan.

Operasi-Operasi Himpunan

Operasi dalam himpunan sendiri terdapat 7 Operasi yang sering digunakan dalam soal-soal Matematika sebagai yang dasar. Sebelum mengerti materi bab mengenai Diagram Venn dan Operasinya. Namun dasar dari itu adalah mengerti Operasi Himpunan.

1. Irisan (Intersection)

Suatu himpunan A dan B adalah jika anggota-anggota setiap elemen merupakan anggota dari Himpunan A dan B. Sehingga dalam irisan kita tinjau dari elemen yang ada dari dua himpunan ini.
Maka Notasinya :
 
Bisa kalian lihat dari gambar diagram Venn berikut :

Operasi Matematika Irisan
Sumber : Data Pribadi

Contoh Diagram Venn 2 dan 5 adalah irisan
© www.berpendidikan.com

Contoh
(1) Jika A = {1, 2, 3, 5} dan  B = {1, 2, 3, 7} maka
(2) Jika A = { 1, 2, 3, 5} dan B { -1, 6, 7, 8}, maka

2. Gabungan (Union)

Gabungan adalah setiap himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang setiap elemen / anggotanya amerupakan himpunan A dan B. Atau bisa dibilang himpunan gabungan adalah gabungan dari himpunan-himpunan, baik A maupun B.
Notasi :
 

Dapat dilihat dari Diagram Venn

Operasi Matematika Irisan

Sumber : Data Pribadi

Contoh :
(1) A = { 1, 2, 3, 4, 5} dan B = { 1, 2, 3, 6, 7, 8} maka
(2)

3. Komplemen

Suatu komplemen adalah himpunan A yang terhadap suatu himpunan semesta U atau S adalah himpunan yang anggotanya merupakan elemen semesta tetapi bukan elemen dari A. Komplemen dari himpunan A adalah semua anggota S (himpunan semesta) yang bukan anggota A.
Notasi :

Dapat diambarkan dalam diagram Venn

Komplemen dari Himpunan A
© Data Pribadi

Komplemen Dari gabungan
Himpunan A dan B
© Data Pribadi 

4. Selisih

Selisih adalah dari dua himpunan , yakni Himpunan A dan B yang merupakan suatu Himpunan ayang elemennya merupakan elemen A tetapi bukan dari B. Dapat dikakan selisih antara Hmpunan A dan B  aalah komplemen himpunan B yang relatif terhadap himpunan A.

Notasi : 
Dapat digambarkan dalam diagram venn sebagai berikut :

Selisih dari Himpunan A dan B
A - B

© Data Pribadi 

Contoh :
Dalam kondisi ini :
(1) Jika A = {1, 2, 3, 4, ..., 15} sedangkan B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}. maka A - B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}, dan B - A = ∅
(2) jika A = {1, 2, 3, 6, 7} dan B = {1, 2, 3, 5, 8}. Jika A - B = {6, 7} sedangkan B - A = {5, 8}.
(3) komplemen dari sembarang himpunan A terhadap semesta U dapat difedinisikan sebagai berikut

Komplemen dari Himpunan A dan juga

© Data Pribadi

5. Beda Setangkup

Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah sesuatu himpunan yang elemennya ada pada suatu himpunan A atau B, tetpai tidak ada pada keduanya. Atau dapat dikatakan Gabungan (union) kedua himpunan di kurangi Irisan Kedua himpunan.
dalam suatu notasi dapat digambarkan



Dapat digambarkan dalam diagram Venn

Beda Setangkup dari Himpunan A dan B
A ⊕ B

© Data Pribadi 

Contoh :
(1) Jika A = {2, 3, 6, 8, 10}, dan B = {2, 5, 6, 7, 8}, maka  A ⊕ B = {3, 5, 7, 10}
(2) A = Himpunan dari segitiga siku-siku , sedangkan B = Himpunan dari Segitiga yang sama sisi. Sehingga A ⊕ B adalah Himpunan dari segitiga sama sisi yang tidak siku-siku dan segitiga siku-siku yang tak sama sisi.

6. Perkalian Kartesius

Perkalian Kartesius (Cartesian products) adalah sautu dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan (ordered pairs) yang mungkin saja terbentuk dengan komponen kedua dari himpunan A dan B.

Notasi :

Catatan
1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka |A x B| = |A| . |B|
2. Pasangan beurutan (a,b) dan berbeda dengan (b,a)
3. Perkalian suatu kartesian tidak bersifat komutatif, yaitu A x B ≠ B x A dengan syarat suatu himpunan A dan B tidak himpunan kosong. (bisa dilihat dari contoh dibawah yang dasar)
4. Jika salah satu Himpunan A = ∅ (Himpunan kosong) atau Himpunan B = ∅(Himpunan Kosong), maka A x B = B x A =  ∅
5. Jika salah satu himpunan adalah Kosong, Maka berlaku sifat Komutatif karena hasilnya tetaplah kosong.

Contoh :
A = {1,2,3,4} sedangkan B = {a,b,c}, maka A x B dalam perkalian kartesius sebagai berikut.
A x B = { {1, a}, {1, b}, {1, c}, {2, a}, {2, b}, {2, c}, {3, a}, {3, b}, {3, c}, {4, a}, {4, b}, {4, c} }
Sehingga ada 12 anggota.
|A x B| = |A| . |B| = 4.3 = 12.

Jika Himpuan A = { }, dan Himpunan B = {1, 2, 3}. Maka A x B = { }
|A x B| = |A| . |B| = 0 . 3 = 0.

Jika Himpuan A = {a, b}, dan Himpunan B = { }. Maka A x B = { }
|A x B| = |A| . |B| = 2 . 0. = 0.

Jika Himpuan A = { }, dan Himpunan B = { }. Maka A x B = { }
|A x B| = |A| . |B| = 0 . 0. = 0.

Kesimpulan

Dalam operasi dari Himpunan juga terdapat berbagai jenis operasi yang penting untuk dipahami. Diatas merupakan dasar dari Operasi perhitungan Himpunan Matematika secara matematis. Sehingga kita dapat mengerti apakah itu Himpunan serta operasi yang dapat kita gunakan selama mempelajari Matematika. Khususnya juga mengenai Himpunan Matematika. Diatas ada 6 Jenis / macam operasi Himpunan yang umum kita pahami.

Sumber :
https://vieenalavina130.wordpress.com/2013/01/20/himpunan/
https://anggaradana.blogspot.com/2013/09/makalah-himpunan-dan-anggota-anggotanya.html
https://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_(matematika)
Muhammad Rusli, I Ketut Putu Suniantara, dan Anggun Nugroho.  2018.   Logika & Matematika.  Yogyakarta: Andi Offset. Hlm.  41-48