Kalimat Terbuka dan Kalimat Tertutup serta hubungannya dalam Logika Matematika

Untuk mengerti suatu kalimat-kalimat dalam logika matematika. Alangkah baiknya untuk mengenal dasar dari suatu kalimat-kalimat di dalam logika matematika. Dalam logika matematika dan operasi hampir seluruh matematika kita past iakan selalu dihadapkan dengan dua jenis premis / kalimat yang selalu hadir. Premis-premis ini sendiri sangat layak untuk kita pelajari.

Kalimat terbuka dan Kalimat Tetutup
© Pribadi

Sebelumnya kita telah mempelajari suatu jenis-jenis kalimat maupun logika secara pengantar. Namun pada kali ini kita akan mepelajari sedikit lebih dalam mengenai kalimat-kalimat ini. Post kali ini akan membahas dua kalimat ini dalam logika matematika.

Kalimat Terbuka

Kalimat Terbuka seirama dengan kalimat non deklaratif dalam bahasa Indonesia. Secara pengertian sederhana, kalimat Terbuka adalah kalimat yang nilai kebenaran atau kesalahannya masih belum dapat dipastikan kebenaran. Hal ini sendiri dikarekan masih ada beberapa hal yang belum menjadi kebenaran secara bulat maupun ada beberapa kata yang masih belum ada nilai kebenarannya.

Contoh :

Tentukan nilai x + 8 = 10
Tentukan nilai (x-1)(x + 10) = 0
Berapakah sisa dari 2987948 dibagi 3?

Mengapa kalimat terbuka belum memiliki suatu nilai kebenaran di dalamnya. Secara sederhana ada 2 mengapa belum ada atau belum tentu nilai kebenarannya:

a. Masih memiliki variabel

Variabel merupakan unsur pengganggu dalam hal ini karena belum memiliki nilai di dalamnya. Variabel dalah konteks logika matematika dianggap sebagai peubah. Hal ini sendiri dianggap tetap kalimat terbuka karena variabel ini belum berubah. Varibel yang berubah menjadi nilai tetap itu berarti konsanta.

b. Tidak memiliki suatu konstanta tetap

Konstata adalah suatu nilai pasti dalam matematika ketika menggantikan suatu variabel. Jika adanya suatu nilai konstanta itu berarti bahwa nilai tersebut dalam angka memiliki ketetapan yang pasti. Sehingga dalam suatu kalimat terbuka diharapkan memiliki suatu nilai konstanta yang dapat dipastikan nilainya.

c. Masih adanya suatu himpunan penyelesaian

Kemarin kita teah mempelajari namanya Himpunan. Himpunan adalah kumpulan obyek-obyek maupun anggota-anggota yang ada utuk mengisi suatu kalimat dan variabel tersebut. Namun karena tidak semua anggota himpunan tidak memiliki kebenaran pasti (pasti ada yang salah maupun benar). Maka masih dianggap kalimat terbuka.

Contoh :
Jika nilai x berada dalam suatu himpunan A = {x | 0 < x < 6 } , maka tentukan kebenaran dari nilai x jika ada dalam x + 3 = 8
Karena x merupaka nanggota himpunan A, maka dalam himpunan A sendiri terdapat nilai
maka x akan bernilai benar jika ia adalah angka 5 (B)
namun X akan bernilai salah jika ia adalah angka 1, 2, 3, dan 4 (S)

lain dari itu

$x^2\:+7x\:-\:30$ dengan x merupakan anggota bilangan Real

$\left(x^2-3x\right)+\left(10x-30\right) = 0$
$x(x-3) + 10(x-3) = 0$
$(x+10)(x-3) = 0$
$x = - 10 ; x = 3$

Jadi Himpunan penyelesaiannya untuk $x^2\:+7x\:-\:30$ , adalah HP = {-10, 3} yang bernilai B, tetapi selain itu bernilai salah.

Kalimat Tertutup

Kalimat Tertutup seperti kalimat deklaratif dalam bahasa Indonesia. Kalimat sudah memiliki suatu nilai kebenarannya dan dapat dipastikan secara langsung (benar atau salah). Dalam hal ini, kita dapat mengerti dengan langsung nilai kebenaran dari kalimat ini. Sehingga kalimat ini sangat mudah dimengerti

Benar atau salahnya suatu pernyataan disebut dengan suatu nilai keenaran dari pernyataan tersebut. dan Nilai dari suatu pernyataan dinilai dari suatu pernyataan dengan bukti yang kuat. Sehingga dalam hal manapun jika matematika sudah ada hukum, dalil, dll pasti sudah ada pasti benar.

Kalimat tertutup juga disebut antitesis dengan kalimat terbuka dikarenakan kalimat tertutup sudah pasti ada nilai suatu kebenaran di dalamnya. Sehingga

Contoh

Jumlah semua sudut yang ada di Segitiga adalah 180° (benar)
Ada Bilangan bulat x dan y yang dapat memenuhi siatu persamaan x + y + 3 = 0 (benar)
Untuk setiap anggota a ∊ Real, maka x^2 = a merupakan seluruhnya adalah bilangan dari akar-akar real. (S)

Dalam kalimat ini sendiri, suatu nilai kebenaran memang sudah ada dalam kalima tersebut sehingga kita tidak perlu mencari nilai suatu variabel dengan susah-susah maupun nilai konstanta yang belum ada. Tapi cukup dengan suatu persamaan dan pernyataan dengan operasi matematika. Operasi matmatika sangat penting untuk mengerti pernyataan-pernyataan dalam matematika.

Hubungan kalimat Terbuka dan Kalimat tertutup

Sebenarnya hubungannya sangat sederhana dimana kalimat terbuka merupakan suatu pertanyaan atau soal sedangkan kalimat tertutup adalah suatu jawaban dari soal tersebut. Kita ambil contoh beberapa kalimat terbuka dan terutup dalam soal pilihan ganda sederhana.

Soal :

Tentukan nilai x dari suatu pernyataan : x + 4 = 10 sehingga nilai x benar! --> Kalimat tertutup
a. x = 5
b. x = 7
c. x = 6
d. x = 8
e. x = 4
bagian atas adalah kalimat tetutup / jawaban. (ada benar dan salah)
maka hasilnya yang benar adalah x = 6 dan selain itu adalah salah. --> kalimat tertutup.

Dari sini kita bisa lihat bahwa soal dalam matematika adalah kalimat terbuka, sedangkan kalimat tertutup merupakan suatu jawaban dari kalimat terbuka diatas. Jika salah maka kalimat dari pernyataan soal tersebut salah. Jika benar maka kalimat itu benar.

Contoh lain.

Diberikan p(x) : x^2 + 2x - 3. Solusi dari p(x) adalah .... (masih kalimat terbuka)
a. x = -3 atau x = - 1
b. x = -1 atau x = 3
c. x = -3 atau x = 1
d. x = - 3 saja
e. x = -1 saja

penyelesaian :
$\left(x^2-x\right)+\left(3x-3\right) = 0$
$x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right) = 0$
$\left(x-1\right)\left(x+3\right) = 0$
$x = 1 \textrm{ atau } x = -3$

Diberikan p(x) : x^2 + 2x - 3. Solusi dari p(x) adalah c. x = -3 atau x = 1 --> (kalimat tertutup bernilai BENAR).

Kesimpulan

Dalam dasar operasi logika matematika kita mengenal 2 kalimat utama dalam logika matematika, yakni kalimat terbuka dan kalimat tertutup. Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya. Sedangkan kalimat tertutup adalah kalimat yang sudah diketahui nilai kebenarannya. Kalimat terbuka seringkali dipakai sebagai soal-soal operasi matematika untuk mencari suatu nilai kebenaran disetiap perhitungan matematika. Sedangkan kalimat tertutup bisa dibilang jawaban dari suatu kalimat terbuka maupun menutup suatu kalimat terbuka. Sehingga bisa mengerti secara hubungan keduanya.

Sumber :

Sukino, 2013. Matematika Untuk SMA/MA Kelas X Kelompok Wajib Semester 2, Jakarta:Erlangga, Hlm. 355-367
Muhammad Rusli, I Ketut Putu Suniantara, dan Anggun Nugroho. 2018. Logika & Matematika. Yogyakarta: Andi Offset. Hlm. 1-2, 21-22